设正整数数列，，，满足，其中.如果存在， 3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”

1. 设正整数数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .如果存在 $\text{[math]}$ ， 3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 中任意 $\text{[math]}$ 项的算术平均值均为整数，则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 阶平衡数列”

(1) 判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？

(2) 若 $\text{[math]}$ 为偶数，证明：数列 $\text{[math]}$ ， 2，3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是“ $\text{[math]}$ 阶平衡数列”，其中 $\text{[math]}$

(3) 如果 $\text{[math]}$ ，且对于任意 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 均为“ $\text{[math]}$ 阶平衡数列”，求数列 $\text{[math]}$ 中所有元素之和的最大值．

【考点】

数列的求和; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题困难

1. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 试猜想 $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明.

解答题普通

3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2ⁿ-1，集合 $\text{[math]}$

(1) 求集合A；

(2) 若 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前 30 项和.

解答题普通