定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.

1. 定义两个 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的第k个分量（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.如三维向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的第2分量 $\text{[math]}$ .若由 $\text{[math]}$ 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ （T为常数）且 $\text{[math]}$ .则称A为T的完美n维向量集.

(1) 求2的完美3维向量集；

(2) 判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3) 若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 $\text{[math]}$ .

【考点】

反证法的应用; 空间向量的概念; 空间向量的数量积运算;

【答案】

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解答题困难

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的项数均为m $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的前n项和分别为 $\text{[math]}$ ，并规定 $\text{[math]}$ ．对于 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，其中， $\text{[math]}$ 表示数集M中最大的数.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 证明：存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 对于n维向量A=（a₁ ， a₂ ， …，a_n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a_i=0或a_i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义 $\text{[math]}$ ．

(1) 若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．

(2) 现有一个5维T向量序列：A₁ ， A₂ ， A₃…，若A₁=（1，1，1，1，1）且满足：d（A_i ， A_i+1）=2，i∈N^* ．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．

解答题普通