如图，在▱中，点是对角线的中点，点在上，且，连接并延长交于点过点作的垂线，垂足为，交于点．

1. 如图，在▱ $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

【考点】

三角形全等的判定; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 平行四边形的性质; 三角形全等的判定-ASA; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .给出下列三个条件：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ .

(1) 请在上述三个条件中选取一个条件，使得 $\text{[math]}$ .你选取的条件序号为，你判定 $\text{[math]}$ 的依据是（填“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）；

(2) 请用（1）中所选条件证明 $\text{[math]}$ ；

(3) $\text{[math]}$ 可看作是由 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向平移得到的，过B作 $\text{[math]}$ 于M，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

(1) 证明△AMF是等腰三角形；

(2) 当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

(3) 将y表示成x的函数，并求y的最大值．

综合题普通

3. 已知，如图，点B，E，D，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．

(1) 求证：BE=CD．

针对这道题，三位同学进行如下讨论；

兰兰：“由AB=AC得∠B=∠C，又因为AE=AD，

通过证明△ABE≌△ACD，可得"

花花；“兰兰的全等条件是‘边边角'。不能证明全等，

但我用‘角角边'可证△ABE≌ACD．"

草草：“还可证明△ABD≌△ACE得BD=CE．再得BE=CD：但图中有两个等腰三角形，我认为最简洁的方法是用'三线合一'的性质证明．"

请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．

(2) 若∠BAC=90°，ED=4，BE=2，求AB的长．

综合题普通