一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB'交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．

1. 一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A^'B^'C^'D^'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．

探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB^'交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．

(1) 解决问题：CQ与BE的位置关系是，BQ的长是dm ， α＝°（注：sin49°＝cos41° $\text{[math]}$ ， tan37° $\text{[math]}$ ）

(2) 求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB）

(3) 在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C^'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB^'上，设PC＝x ， BQ＝y ，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．

【考点】

锐角三角函数的定义; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【综合与实践】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

(1) 探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器 $\text{[math]}$ 刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A，B共线（如图②），此目标P的仰角 $\text{[math]}$ ．请说明两个角相等的理由．

(2) 实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角 $\text{[math]}$ ，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（ $\text{[math]}$ ，结果精确到0.1米）

(3) 拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，H在同一直线上），分别测得点P的仰角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再测得E，F间的距离m，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到地面的距离 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为1.5米；求PH（用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， m表示）．

实践探究题困难

2. 济南黄河大桥位于济南北郊，该桥于1982年7月建成通车，至今已40年整，大桥总长 $\text{[math]}$ 米，是当时亚洲跨径最大的桥梁，在当时世界十大预应力混凝土斜拉桥中排行第8位．某校数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据： $\text{[math]}$ ，垂直高度 $\text{[math]}$ 米．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长（保留根号）；

(2) 若要在最长的斜拉链条 $\text{[math]}$ 和斜塔 $\text{[math]}$ 上装 $\text{[math]}$ 节能灯带，灯带每米造价200元，求斜拉链条 $\text{[math]}$ 和斜塔 $\text{[math]}$ 上灯带的总造价是多少元？（取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

实践探究题普通