问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上放着一根正三棱柱形（底面为等边三角形的直棱柱）的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程.图① 图②

0 返回首页

1. 问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形地毯上爬行，地毯上放着一根正三棱柱形（底面为等边三角形的直棱柱）的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 $\text{[math]}$ ，木块从正面看是一个边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 $\text{[math]}$ 处到达点 $\text{[math]}$ 处需要走的最短路程.

图① 图②

(1) 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接 $\text{[math]}$ .

(2) 线段 $\text{[math]}$ 的长即为蚂蚁从点 $\text{[math]}$ 处到达点 $\text{[math]}$ 处需要走的最短路程，依据是；

(3) 问题解决：求出这只蚂蚁从点 $\text{[math]}$ 处到达点 $\text{[math]}$ 处需要走的最短路程.

【考点】

两点之间线段最短; 勾股定理; 勾股定理的实际应用-最短路径问题;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

实践探究题普通

1. 问题提出：

(1) 同学们在探索求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图1， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，分别过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

①则 $\text{[math]}$ 的长为 ▲ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

②如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，构造长方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 的值最小，求最小值．

(2) 问题解决：请用上述的构图法，说明作图过程并求出代数式 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题困难

2. 【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短? （π取3）

素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物.

若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 12+6=18cm. 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是____ cm；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线____（用“一”或“二”填空）.

素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10cm的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的.

(1) 两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：

圆柱高度	沿路线一路程x	沿路线二路程y	比较x与y的大小
5	11	$\text{[math]}$	x>y
4	10	$\text{[math]}$	x>y
3	a	3 $\text{[math]}$	b

(2) 填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小关系是；

(3) 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h. 在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?

实践探究题普通

3. 综合与实践

【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的 $\text{[math]}$ 取3）

素材1 如图1，圆柱形纸盒的高 $\text{[math]}$ 为12厘米，底面直径 $\text{[math]}$ 为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.

（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 $\text{[math]}$ 厘米.将圆柱沿着 $\text{[math]}$ 将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）

素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：

圆柱高度	沿路线一路程x	沿路线二路程y	比较x与y的大小
5	11	10.3	$\text{[math]}$
4	10	9.85	$\text{[math]}$
3	a	9.49	b

（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；

（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?

实践探究题普通