随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．

1. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的一阶差分数列，其中 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的二阶差分数列，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，试判断数列 $\text{[math]}$ 是否为等差数列，请说明理由？

(2) 数列 $\text{[math]}$ 是以1为公差的等差数列，且 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为常数列，对满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的任意正整数 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

等差数列的通项公式; 等比数列的通项公式; 等差数列的性质; 等比数列的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第 $\text{[math]}$ 个等差数列的第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若m为给定的值，且对任意n有 $\text{[math]}$ ，证明：存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的各项为正数，其前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 构成等比数列．

(1) 求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 已知正项数列 $\text{[math]}$ ，其前n项和 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求出 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 数列 $\text{[math]}$ 中是否存在连续三项 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 构成等差数列？请说明理由.

解答题普通