综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，．

1. 综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 操作发现

操作一：如图1，将矩形 $\text{[math]}$ 纸片沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠，使点B落在点 $\text{[math]}$ 处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，然后展平得到图2，则以点A ， F ， C ， E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；

(2) 实践探究

操作二：如图3，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中，点G为 $\text{[math]}$ 的中点，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点B落在点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ．

①判断 $\text{[math]}$ 与折痕 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

②求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 拓展应用

将矩形纸片 $\text{[math]}$ 裁剪为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在图3的情形下，若G为 $\text{[math]}$ 上任意一点，其他条件不变，当点A与点 $\text{[math]}$ 距离最小时，直接写出BG的长．

【考点】

全等三角形的应用; 勾股定理; 菱形的判定与性质; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

【问题情景】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．

(1) 如图（a）所示，已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ．则请证明 $\text{[math]}$ ．

(2) 这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（b）所示，现将（1）的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 三点都在直线 $\text{[math]}$ 上，并且有 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角．则请证明 $\text{[math]}$ ．

(3) 【类比探究】

数学老师赞扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图（c）所示，以 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的高，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

实践探究题困难