已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 函数的零点与方程根的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有三个不同的零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ 。

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 有且仅有 $\text{[math]}$ 个零点；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且对于运算“ $\text{[math]}$ ”， $\text{[math]}$ 表示坐标为 $\text{[math]}$ 的点．若点U ， V ， W满足 $\text{[math]}$ ，则称V与U相似，记作V~U ．若存在单调函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对于 $\text{[math]}$ 图像上任意一点T ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 图像上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．

(1) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且N~M ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 证明：若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．设R~S ，且 $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ ．

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