如图，直三棱柱中，是边长为2的正三角形，O为的中点.

1. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，O为 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

【考点】

直线与平面垂直的判定; 平面的法向量; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， △ $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为45°．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ 使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角余弦为 $\text{[math]}$ ，若存在求出 $\text{[math]}$ 值，存不存在请说明理由．

解答题普通

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.

解答题普通

3. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内的射影为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不包括端点），求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值的取值范围．

解答题普通