图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1 ， C1 ， D1 ， A1 ，使依次连结它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2 ， C2 ， D2 ， A2 ，使，依次连结它们，得到四边形A2B2C2D2……如此继续下去，得到四条螺旋折线.

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1. 图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B₁ ， C₁ ， D₁ ， A₁ ，使 $\text{[math]}$ 依次连结它们，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再在四边形A₁B₁C₁D₁各边上分别取点B₂ ， C₂ ， D₂ ， A₂ ，使 $\text{[math]}$ ，依次连结它们，得到四边形A₂B₂C₂D₂……如此继续下去，得到四条螺旋折线.

(1) 求证：四边形A₁B₁C₁D₁是正方形.

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 请研究螺旋折线BB₁B₂B₃…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明.

【考点】

正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 探索规律-图形的递变加循环规律;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；

(1) 【初步探究】则AP与CE的数量关系是，AP与CE的夹角度数为.

(2) 【探索发现】点P在射线AC上运动时，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；

(3) 【拓展延伸】当点P在对角线AC的延长线上时，连接AE，若AB= $\text{[math]}$ ， AE= $\text{[math]}$ ，求四边形DCPE的面积.

实践探究题普通

2. 问题发现：如图①， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结 $\text{[math]}$ ．填空：

(1) $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．

(3) 拓展探究：

如图②， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点A，D，E在同一直线上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高，连结 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 的度数及线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

实践探究题普通