综合与探究

1. 综合与探究

(1) 如图1，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

①若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；
②设 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

(2) 知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内部的一条射线，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(3) 已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内的位置如图3所示，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

【考点】

角的运算; 线段的中点; 线段的和、差、倍、分的简单计算; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题困难

1. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：

(1) 课上，老师提出问题：如图①，点O是线段 $\text{[math]}$ 上一点，C、D分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：

未知线段

已知线段

……

因为C ， D分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，

所以 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

因为 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ，

线段中点的定义

线段的和、差

等式的性质

(2) 小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是角内部的一条射线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线．求 $\text{[math]}$ 的度数．请同学们尝试解决该问题．

(3) 同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线 $\text{[math]}$ 绕点O旋转到 $\text{[math]}$ 的外部，则 $\text{[math]}$ 的度数是．

实践探究题困难

(1) 【特例感知】如图 $\text{[math]}$ ，已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部转动，射线 $\text{[math]}$ 和射线 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

$\text{[math]}$ 请你猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三个角有怎样的数量关系？请说明理由．

(3) 【类比探究】如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部转动，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ 用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示计算结果 $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

3. 综合与实践。

问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题。

(1) 问题 1：已知∠AOB = 60°， OC 平分∠AOB， OD 平分 ∠AOC，则 ∠AOD=。

问题2：已知AB=60，C是AB 的中点，D是AC 的中点，则AD=。

数学思考：

完成问题1 与问题 2 的填空。

(2) 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系。

老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题。

如图①，点O在直线AB 上，∠COD=90°(OC，OD在直线AB 同侧)，OE，OF 分别平分∠AOC，∠BOD，求∠EOF 的度数(无需作答)。

完成下列问题的解答：

①“运河小组”提出问题：如图②，线段AB=180，点C，D在线段AB 上(AC<AD)，CD=90，E，F分别是线段AC，BD 的中点，求EF的长。

②“武林小组”提出问题：如图③，点O在直线AB 上，∠COD=90°(OC，OD在直线AB 两侧)，OE，OF 分别平分∠AOC，∠BOD，求∠EOF 的度数。

实践探究题困难