[推理能力]如图，▱ABCD的对角线 AC 恰好平分∠DAB，点 H，F 分别在AD，BC上，点 E，G 分别在 BA，DC 的延长线上，且 AE =AH=CG=CF.

1. [推理能力]如图，▱ABCD的对角线 AC 恰好平分∠DAB，点 H，F 分别在AD，BC上，点 E，G 分别在 BA，DC 的延长线上，且 AE =AH=CG=CF.

(1) 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.

(2) 写出△HEA和四边形 EFGH 的面积之间的数量关系，并说明理由.

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形的面积; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 平行四边形的判定与性质; 平行四边形的面积;

【答案】

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实践探究题困难

【探索发现】如图1，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）

【迁移应用】已知：直线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．

(1) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，在第二象限构造等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

①直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②点C的坐标是；

(2) 如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，问 $\text{[math]}$ 的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；

(3) 【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 轴于点A，作 $\text{[math]}$ 轴于点C，P为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．

实践探究题困难