如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．

1. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，如图1，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 的中点，如图2，试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ )

(3) 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的性质; 等边三角形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D、E在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =_____°；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点M在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

综合题困难

2. 如图，已知等边三角形 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 的中点，E是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段CA上以acm/s的速度由点C出发向终点A运动，设点P的运动时间为ts．

(1) 求CP的长；（用含t的式子表示）

(2) 若以C、P、Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求t，a的值．

综合题困难