已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 用定义法证明：函数 $\text{[math]}$ 在定义域上是严格增函数.

【考点】

奇函数与偶函数的性质; 奇偶函数图象的对称性;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）图象关于 $\text{[math]}$ 对称；

(1) 若当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 恒有意义，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 最小值.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 是否存在 $\text{[math]}$ ，使得曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称？若存在求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，

①求使得 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当 $\text{[math]}$ 时：若恒有 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称；若恒有 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称；②函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 必为偶函数；若函数 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 必为奇函数；③三次函数 $\text{[math]}$ 一定有对称中心；四次函数 $\text{[math]}$ 不一定有与 $\text{[math]}$ 轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：

(1) 求三次函数 $\text{[math]}$ 的对称中心；

(2) 若四次函数 $\text{[math]}$ 有垂直于 $\text{[math]}$ 轴的对称轴，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通