已知．

1. 已知 $\text{[math]}$ ．

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；

(2) 请严格证明曲线 $\text{[math]}$ 有唯一交点；

(3) 对于常数 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 共有三个不同交点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 成等比数列．

【考点】

导数的四则运算; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 导数在最大值、最小值问题中的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中实数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调区间和极值；

(2) 若方程 $\text{[math]}$ 有两个零点，求实数a的取值范围.

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；

(2) 若过点 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 最小值；

(3) 设函数 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 其中λ为实数.

(1) 若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；

(2) 若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；

(3) 记g(x)=h(x)-λx，若p，q(p<q)为g(x)的两个驻点，当λ在区间 $\text{[math]}$ 上变化时，求|g(p)-g(q)|的取值范围.

解答题困难