若一动圆M同时与圆和圆相内切.

1. 若一动圆M同时与圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 相内切.

(1) 求动圆圆心M的轨迹方程；

(2) 记动圆圆心M的轨迹为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 16上任一点 $\text{[math]}$ 处的切线l交 $\text{[math]}$ 于P，Q两点.某研究小组发现：在x轴上存在唯一点D $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的周长为定值.此小组的结论对吗？请给出理由.

【考点】

轨迹方程; 直线和圆的方程的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，证明：点 $\text{[math]}$ 在定直线上．

解答题困难

2. 已知坐标平面上点 $\text{[math]}$ 与两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之比等于 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2) 记 $\text{[math]}$ 中的轨迹为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 所截得的线段的长为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

解答题普通

3. 已知点 $\text{[math]}$ ，动点P 满足：|PA|=2|PB|．

(1) 若点P的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，求此曲线的方程；

(2) 若点Q在直线l_1：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线 $\text{[math]}$ 只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

解答题普通