数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

1. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1) 图中阴影部分的面积为；

(2) 受此启发，得到 $\text{[math]}$ ＝；

(3) 联系拓广，得到 $\text{[math]}$ ＝（用含n的式子表示）；

(4) 迁移应用：得到 $\text{[math]}$ ＝（直接写出答案即可）．

【考点】

探索数与式的规律;

【答案】

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实践探究题困难

1. 观联下列等式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …．

将以上三个等式两边分别相加得：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ．

(1) 猜想并写出： $\text{[math]}$ ．

(2) 直接写出下列各式的计算结果： $\text{[math]}$ ．

(3) 探究并计算： $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

2. 观察下列式子：

第1个式子： $\text{[math]}$ ．

第2个式子： $\text{[math]}$ ．

第3个式子： $\text{[math]}$ ．

第4个式子： $\text{[math]}$ ．

…

请你按照上述规律，回答下列问题：

(1) 写出第5个式子：．

(2) 写出第n个式子：（用含n的式子表示）．

(3) 请你按照规律计算 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

3. 探索规律：

观察下列算式，解答问题：

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ．

(1) 请猜想 $\text{[math]}$ ；

(2) 请猜想 $\text{[math]}$ ；

(3) 请用上述规律计算： $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通