课本再现：如图正方形对角线与相交于点O ， E为上任意点（不与B ， C重合），作交于点F ．

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1. 课本再现：如图正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ， E为 $\text{[math]}$ 上任意点（不与B ， C重合），作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ．

(1) 在图1中解答下列问题：

①）求证： $\text{[math]}$

②）当正方形 $\text{[math]}$ 的面积为4时，小明发现以下结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（填序号）

(2) 如图2，当点P为线段 $\text{[math]}$ 上任意点时（P不与O ， C重合），E ， F为分别为边 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ．问： $\text{[math]}$ 之间有何数量关系，并说明理由．

(3) 如图3，将图2中正方形 $\text{[math]}$ 改成矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其它条件不变，直接写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的判定; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：

测量示意图
测量数据	边的长度	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
		②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
		③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$ ．请完成以下任务：

(1) 根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$ ．

(2) 如果小明想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？

综合题普通

2. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索 $\text{[math]}$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $\text{[math]}$ 尺），将它往前推进两步（ $\text{[math]}$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $\text{[math]}$ 尺），已知 $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ，求秋千绳索（ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）的长度．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动．

(1) 如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？

(2) 几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于 $\text{[math]}$ ？

综合题普通