在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于O ， A两点，过点A的直线与y轴交于点C ，交抛物线于点D ．

1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于O ， A两点，过点A的直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C ，交抛物线于点D ．

(1) 请写出点A ， C ， D的坐标；

(2) 如图1，点B是直线 $\text{[math]}$ 上方第一象限内抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A ， D ， M ， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标。

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧.

(1) 如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

(2) 在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出AABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3) 如图2，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在唯一一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ?若存在，请求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， B两点，交y轴于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于点E ，过点P作 $\text{[math]}$ 的平行线交x轴于点F ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3) 将该抛物线y沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点G是新抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点，点M为新抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴上一点，在平面内确定一点N ，使得以点C ， G ， M ， N为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

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3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，二次函数的图象 $\text{[math]}$ 经过点A、B ．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 是第三象限内抛物线上的一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时：

①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ （不与点 $\text{[math]}$ 重合），使得 $\text{[math]}$ 四点共圆，如果存在求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

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