在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点在点的左侧.

1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧.

(1) 如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

(2) 在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出AABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3) 如图2，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在唯一一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ?若存在，请求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 最大时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(3) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

综合题普通

2. 公路上正在行驶的甲车发现前方 $\text{[math]}$ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 、速度 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式 $\text{[math]}$ 不要求写出 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$

(2) 当甲车减速至 $\text{[math]}$ 时，它行驶的路程是多少？

(3) 若乙车以 $\text{[math]}$ 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

综合题普通

3. 如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），

(1) 求抛物线和直线BC的函数表达式；

(2) 若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；

(3) 点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；

(4) 在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难