如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点.

1. 如图， $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 是等腰三角形.

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上匀速移动，它们的速度分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （用含t的式子表示）， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ；

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等边三角形？

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？请直接写出t的值．

解答题普通

2. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如果点P由B点出发沿 $\text{[math]}$ 方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿 $\text{[math]}$ 方向向点B匀速运动，它们的速度均为 $\text{[math]}$ ，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 设 $\text{[math]}$ 的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值；

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等边三角形？

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ ？

解答题普通

3. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，其中点P运动的速度是 $\text{[math]}$ ，点Q运动的速度是 $\text{[math]}$ ，当点Q到达点C时， $\text{[math]}$ 两点都停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 当点Q到达点C时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系如何？请说明理由．

(2) 在点P与点Q的运动过程中， $\text{[math]}$ 是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．

(3) t为何值时 $\text{[math]}$ 是直角三角形？

解答题普通