如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：

1. 如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为 $\text{[math]}$ 的长方形，再把其中一个面积为 $\text{[math]}$ 的长方形分成两个面积为 $\text{[math]}$ 的正方形，再把其中一个面积为 $\text{[math]}$ 的正方形分成两个面积为 $\text{[math]}$ 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：

(1) 计算： $\text{[math]}$ ；

(2) 计算 $\text{[math]}$ ．

【考点】

探索数与式的规律; 探索图形规律;

【答案】

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解答题困难

1. 阅读以下材料，并解决问题：

欲求 $\text{[math]}$ 的值，可以按照如下步骤进行：

令 $\text{[math]}$ ①，

等式两边同时乘以3，得 $\text{[math]}$ ②，

由①得 $\text{[math]}$ ，代入②中，得 $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ，

所以， $\text{[math]}$ ．

请解答下列问题：

(1) 计算： $\text{[math]}$ ．

(2) 数形结合：如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，……，按照这个的规律，图（6）中共有正方形的个数是（）

A． $\text{[math]}$ B． $\text{[math]}$ C． $\text{[math]}$ D． $\text{[math]}$

(3) 拓展运用：用上面学到的方法，将无限循环小数 $\text{[math]}$ ，写成分数形式（写出解答过程）．

解答题普通

(1) 由图1得：2+4＝2×3；由图2得：2+4+6＝；由图3得：；

(2) 则由图n可得：2+4+……+2（n+1）＝；

(3) 根据（2）的结论，求2+4+6+……+1000的值．

解答题普通

3. 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：

(1) 当有5张桌子时，第一种方式能坐人，第二种方式能坐人.

(2) 当有n张桌子时，第一种方式能坐人，第二种方式能坐人.

(3) 新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？

解答题普通