提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去军营开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？

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提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营 $\text{[math]}$ 出发，先到河边饮马，然后再去军营 $\text{[math]}$ 开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？

(1) 研究方法：第一步作其中一定点的对称点，第二步连接对称点和另一定点，第三步找与河（对称轴）的交点．如图2，此时 $\text{[math]}$ 最短，由轴对称的性质可得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 最短．如图3，在直线上任取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的理由是：．

(2) 如图4，在等边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是；（请直接写出答案）

(3) 如图5，在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上运动，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，点 $\text{[math]}$ 的坐标是；（请直接写出答案）

(4) 如图6， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的最小值是．（请直接写出答案）

【考点】

两点之间线段最短; 等边三角形的性质; 轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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实践探究题普通

1. 数学模型学习与应用：

白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣

模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P ，使PA+PB的值最小．

作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B ， A'B与直线l的交点即为点P ．此时PA+PB的值最小．

(1) 模型应用：

如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm ， P为AH上一动点，D为AB的中点．

①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．

②则PD+PB的最小值为 ▲ cm ．

(2) 模型变式：

如图3所示，某地有块三角形空地AOB ，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR ， 点Q、R分别是OA ， OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.

实践探究题普通

2. 阅读解答题：

（几何概型）

条件：如图1： $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 同旁的两个定点．

问题：在直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小；

方法：作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

由“两点之间，线段最短”可知，点 $\text{[math]}$ 即为所求的点．

(1) （模型应用）

如图2所示：两村 $\text{[math]}$ 在一条河 $\text{[math]}$ 的同侧， $\text{[math]}$ 两村到河边 $\text{[math]}$ 的距离分别是 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米，现要在河边 $\text{[math]}$ 上建造一水厂，向 $\text{[math]}$ 两村送水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在 $\text{[math]}$ 上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用 $\text{[math]}$ ．

(2) （拓展延伸）

如图， $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 最小，则点 $\text{[math]}$ 应该满足（）（唯一选项符合题意）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

实践探究题普通