已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，过原点 $\text{[math]}$ 作直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ 不是椭圆 $\text{[math]}$ 的顶点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 椭圆的应用; 直线与圆锥曲线的关系; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ 的面积为定值；

②椭圆 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）经过三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的两点.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过 $\text{[math]}$ 的右焦点的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由.

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为1.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过定点.

解答题困难