给定函数，，，，用表示，，中的较小者，记为.

1. 给定函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的较小者，记为 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的解析式，画出其图象，根据图象写出函数的单调区间；

(2) 求不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

【考点】

分段函数的解析式求法及其图象的作法; 函数的单调性及单调区间;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 有如下性质；如果常数 $\text{[math]}$ ，那么该函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数.

(1) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用上述性质，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和值域；（提示：令 $\text{[math]}$ ）

(2) 对于（1）中的函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

2. 设 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 有如下性质；如果常数 $\text{[math]}$ ，那么该函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数．

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，利用上述性质，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和值域；

(2) 对于（1）中的函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数a的值．

解答题普通