函数对任意实数恒有，且当时，.

1. 函数 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

(1) 判断 $\text{[math]}$ 的奇偶性；

(2) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的减函数；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ .

【考点】

函数单调性的判断与证明; 奇偶性与单调性的综合; 抽象函数及其应用; 一元二次不等式及其解法;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 证明：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(2) 判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性；（不需要证明）

(3) 若 $\text{[math]}$ 时，记函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ 对于任意实数 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值；

(2) 若在区间 $\text{[math]}$ 上不存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．

（i）求实数a的值；

（ii）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在正实数b，使得对区间 $\text{[math]}$ 上任意三个实数r，s，t，都存在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解答题困难