函数对任意实数恒有，且当时，.

1. 函数 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

(1) 判断 $\text{[math]}$ 的奇偶性；

(2) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的减函数；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ .

【考点】

函数单调性的判断与证明; 奇偶性与单调性的综合; 抽象函数及其应用; 一元二次不等式及其解法;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 证明：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(2) 判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性；（不需要证明）

(3) 若 $\text{[math]}$ 时，记函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ 对于任意实数 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值；

(2) 若在区间 $\text{[math]}$ 上不存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 各边长的平方和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各边长的倒数和为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）分别求函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，说明理由.

解答题困难