已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过定点 $\text{[math]}$ 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的面积.

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为1.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过定点.

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的三点，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不垂直，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的三点，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点关于原点 $\text{[math]}$ 对称，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与椭圆的两个交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为定值，则称点 $\text{[math]}$ 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

解答题困难