已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，．

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为其焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点都在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程，并证明 $\text{[math]}$ ；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 上是否存在定点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 的斜率）？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.

解答题困难

2. 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 若正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 动直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零的常数.

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

① $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .

解答题普通