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1. 如图1,抛物线
交
x
轴于
A
,
两点,交
y
轴于点
. 点
P
是抛物线上一动点.
(1)
求该抛物线的函数表达式;
(2)
当点
P
的坐标为
时,求四边形
的面积;
(3)
当动点
P
在直线
上方时,在平面直角坐标系是否存在点
Q
, 使得以
B
,
C
,
P
,
Q
为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点
Q
的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)
如图2,点
D
是抛物线的顶点,过点
D
作直线
轴,交
x
轴于点
H
, 当点
P
在第二象限时,作直线
,
分别与直线
交于点
G
和点
I
, 求证:点
D
是线段
的中点.
【考点】
待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;
【答案】
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综合题
困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax
2
+bx+c上.
(1)
求抛物线解析式;
(2)
在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)
在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
综合题
困难
2. 如图,已知二次函数
的图象经过点
,与
轴分别交于点
,点
.点
是直线
上方的抛物线上一动点.
(1)
求二次函数
的表达式;
(2)
连接
,
,并把
沿
轴翻折,得到四边形
.若四边形
为菱形,请求出此时点
的坐标;
(3)
当点
运动到什么位置时,四边形
的面积最大?求出此时
点的坐标和四边形
的最大面积.
综合题
普通
3. 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成,他对此展开研究:测得矩形的宽为
, 长为
, 最高处点P到地面的距离
为
, 建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为
, 其中
表示抛物线上任一点到地面
的高度,
表示抛物线上任一点到隧道一边
的距离.
(1)
求抛物线的解析式.
(2)
为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全,根据我国交通运输部的相关规定,普通货车的宽度应在
之间,高度应在
之间,小明发现隧道为单行道,一货车
沿隧道中线行驶,宽
为
, 货车的最高处与隧道上部的竖直距离
约为
, 通过计算,判断这辆货车的高度是否符合规定.
综合题
普通
1. 如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax
2
+bx+c上.
(1)
求抛物线解析式;
(2)
在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)
在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
综合题
困难
2. 如图,已知二次函数
的图象经过点
,与
轴分别交于点
,点
.点
是直线
上方的抛物线上一动点.
(1)
求二次函数
的表达式;
(2)
连接
,
,并把
沿
轴翻折,得到四边形
.若四边形
为菱形,请求出此时点
的坐标;
(3)
当点
运动到什么位置时,四边形
的面积最大?求出此时
点的坐标和四边形
的最大面积.
综合题
普通
3. 如图,在平面直角坐标系中,经过点
的直线AB与y轴交于点
. 经过原点O的抛物线
交直线AB于点A,C,抛物线的顶点为D.
(1)
求抛物线
的表达式;
(2)
M是线段AB上一点,N是抛物线上一点,当
轴且
时,求点M的坐标;
(3)
P是抛物线上一动点,Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
综合题
困难