如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

1. 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $\text{[math]}$ 的直线AB与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．经过原点O的抛物线 $\text{[math]}$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $\text{[math]}$ 轴且 $\text{[math]}$ 时，求点M的坐标；

(3) P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax²+bx+c上．

(1) 求抛物线解析式；

(2) 在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

(3) 在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

综合题困难

2. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上一动点.

(1) 求二次函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴翻折，得到四边形 $\text{[math]}$ .若四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，请求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 运动到什么位置时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大？求出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标和四边形 $\text{[math]}$ 的最大面积.

综合题普通

3. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点 $\text{[math]}$ ．点P是抛物线上一动点．

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 当点P的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 当动点P在直线 $\text{[math]}$ 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ， C ， P ， Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(4) 如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线 $\text{[math]}$ 轴，交x轴于点H ，当点P在第二象限时，作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 交于点G和点I ，求证：点D是线段 $\text{[math]}$ 的中点．

综合题困难