著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜. 【提出问题】我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？【构造关系】将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为.

1. 著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.

【提出问题】

我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？

【构造关系】

将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照 $\text{[math]}$ 的比例放大或缩小，其中 $\text{[math]}$ ，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为 $\text{[math]}$ .

(1) 当系变倍数为3时，求解一元二次方程 $\text{[math]}$ 的“系变方程”.

(2) 【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，其“系变方程”也有两个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

(3) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，问是否存在定值 $\text{[math]}$ ，对于任意实数 $\text{[math]}$ ，都满足 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值.若不存在，请说明理由.

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【引入命题】设 $\text{[math]}$ 是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式，若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则整式 $\text{[math]}$ 必有一个因式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ 仍然是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个根是；

(2) 【回归课本】设一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程可化为： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
利用上式结论解题：已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【探究引申】设一元三次方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原方程可化为： $\text{[math]}$ ，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
利用上式结论解题：已知方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 【拓展提高】利用以上规律探究：若方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

实践探究题困难

2. 阅读与思考：

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1) 材料理解：若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

(1) [回归教材]已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理” $\text{[math]}$ 请你证明这个定理．

(2) [夯实基础]若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) [拓展应用]若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题普通