对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．

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1. 对于平面内的一个四边形，若存在点 $\text{[math]}$ ，使得该四边形的一条对角线绕点 $\text{[math]}$ 旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点 $\text{[math]}$ 是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的一个“旋点”．

(1) 若菱形 $\text{[math]}$ 为“可旋四边形”，其面积是 $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的边长是；

(2) 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 为“可旋四边形”，边 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的一个“旋点”．求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不平行．四边形 $\text{[math]}$ 是否为“可旋四边形”？请说明理由．

【考点】

四边形的综合;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合探究

在边长为5的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在直线 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ．

(1) 如题-1图，若EF与CD交于点H ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，求证：C ， D ， G三点共线；

(3) 如图-2图，若点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1) 在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；

(2) 如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE ，过点B作BG⊥AE于点H ，交CD于点G ，连AG、EG ．

①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；

②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；

(3) 如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A ，过点A作AO⊥FR于点O ，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．

实践探究题普通

3. 应用与探究

【情境呈现】

在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．他把三角板 $\text{[math]}$ 固定好后，将三角板 $\text{[math]}$ 从图1所示的位置开始绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，每秒转动 $\text{[math]}$ ，设转动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题应用】请直接写出图1中线段 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，连接 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求 $\text{[math]}$ 值；

(3) 【问题探究】如图3，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值，并直接写出此时的 $\text{[math]}$ 值：若不存在，请说明理由．

实践探究题困难