观察下列等式：①；②；③；……；根据上述等式的规律，解答下列问题：

1. 观察下列等式：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；……；

根据上述等式的规律，解答下列问题：

(1) 请写出第④个等式

(2) 写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．

(3) 应用你发现的规律，计算： $\text{[math]}$

【考点】

探索数与式的规律;

【答案】

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实践探究题普通

1. 观察右图，认真分析各式，然后解答问题.

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …

(1) 请用含有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的等式 $\text{[math]}$ ；

(2) 推算出 $\text{[math]}$ .

(3) 求出 $\text{[math]}$ 的值.

实践探究题普通

2. 观察下面的计算：

① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即为 $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即为 $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即为 $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即为 $\text{[math]}$ ；

(1) 根据上面的计算，请你写出第9个的等式即为；

(2) 根据上面的计算，请你猜想第n个的等式即为；

(3) 请你证明你的猜想．

实践探究题普通

(1) 你能求出（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷ +……+a²+a+ 1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．

（a-1）（a+1）=；（a-1）（a²+a+1）=

（a-1）（a³+a²+a+1）=；

由此我们可以得到：（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+……+a+1）=

(2) 利用（1）的结论，计算： 2²⁰²³+2²⁰²²+2²⁰²¹+……+2² +2+1

实践探究题普通