世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.

1. 世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知 $\text{[math]}$ 社区有 $\text{[math]}$ 的居民每周运动总时间超过5小时， $\text{[math]}$ 社区有 $\text{[math]}$ 的居民每周运动总时间超过5小时， $\text{[math]}$ 社区有 $\text{[math]}$ 的居民每周运动总时间超过5小时，且 $\text{[math]}$ 三个社区的居民人数之比为 $\text{[math]}$ .

(1) 从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2) 从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(3) 假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量 $\text{[math]}$ （单位：小时），且 $\text{[math]}$ ，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式; 正态密度曲线的特点; 用频率估计概率;

【答案】

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解答题普通

1. 统计学中有如下结论：若 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 的取值中随机抽取 $\text{[math]}$ 个数据，记这 $\text{[math]}$ 个数据的平均值为 $\text{[math]}$ ，则随机变量 $\text{[math]}$ ．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是 $\text{[math]}$ ，上下浮动不超过 $\text{[math]}$ ，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为 $\text{[math]}$ ，标准差为 $\text{[math]}$ 的正态分布．

(1) 假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为 $\text{[math]}$ ，利用上述结论求 $\text{[math]}$ ；

(2) 希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在 $\text{[math]}$ 上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为 $\text{[math]}$ ，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．

附：①随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．

解答题普通

2. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 $\text{[math]}$ ，收到0的概率为 $\text{[math]}$ ；发送1时，收到0的概率为 $\text{[math]}$ ，收到1的概率为 $\text{[math]}$ .现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $\text{[math]}$ ，则译码为1）.

(1) 若采用单次传输方案，依次发送 $\text{[math]}$ ，求依次收到 $\text{[math]}$ 的概率；

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.

解答题普通

3. 某市举行招聘考试，共有 $\text{[math]}$ 人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试 $\text{[math]}$ 为了解考生的考试情况，随机抽取了 $\text{[math]}$ 名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

(1) 根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；

(2) 若所有考生的初试成绩 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为样本平均数的估计值， $\text{[math]}$ ，试估计初试成绩不低于 $\text{[math]}$ 分的人数；

(3) 复试共三道题，第一题考生答对得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分，后两题考生每答对一道题得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩 $\text{[math]}$ 已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，后两题答对的概率均为 $\text{[math]}$ ，且每道题回答正确与否互不影响 $\text{[math]}$ 记该考生的复试成绩为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及均值．

附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解答题普通