已知四边形是平行四边形，．

1. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ．

(1) 利用尺规作图作 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；（要求保留作图痕迹，不写作法）；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：∵四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ ▲ ，

∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

∴ ▲ ，

∴ $\text{[math]}$

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ ▲ ，

又∵ ▲ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，

又∵ ▲ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

【考点】

平行四边形的判定与性质; 菱形的判定与性质; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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作图题普通

1. 如图，BD 是▱ABCD 的对角线，BF 平分∠DBC，交 CD于点 F.

(1) 请用直尺和圆规作∠ADB 的平分线 DE，交 AB 于点 E(保留作图痕迹，不写作法).

(2) 根据图形证明四边形 DEBF 是平行四边形.请将下面的证明过程补充完整.

证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠ (两直线平行，内错角相等).

∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，

$\text{[math]}$

∴∠EDB=∠DBF，

∴DE∥ ().

∵四边形 ABCD是平行四边形，

∴BE∥DF，

∴四边形 DEBF 是平行四边形().

作图题普通

2. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 上画点F，使四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 上画点K，使 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，若点G在 $\text{[math]}$ 上，在 $\text{[math]}$ 上画点H，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

作图题困难

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ．

(1) 尺规作图：在 $\text{[math]}$ 边上取一点M，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；作∠ADC的平分线交 $\text{[math]}$ 于点N（保留作图痕迹，不写作法）；

(2) 在（1）所作图形中，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．

证明：∵在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ▲ ，

∵DN平分∠ADC，

∴ $\text{[math]}$ ▲ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ▲ ．

∵在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ， ∴ ▲ ，

∵在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，即 ▲ ，

又∵ $\text{[math]}$ ， ∴四边形BMDN是平行四边形．

作图题普通