如图

1. 如图

(1) 问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，

如图1， $\text{[math]}$ 和ΔADE是顶角相等的等腰三角形，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：如图2， $\text{[math]}$ 和ΔADE都是等腰三角形，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， B，C，D在同一条直线上．请判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．

(3) 问题解决：如图3，若ΔACB和ΔDCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为ΔDCE中DE边上的高，连接BE，若AE=7，BE=2，请直接写出CM的长，不说明理由.

【考点】

等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图（1）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂足分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度由点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，同时点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动．它们运动的时间为 $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 运动结束时，点 $\text{[math]}$ 运动随之结束 $\text{[math]}$ ．

(1) AP $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 的运动速度与点 $\text{[math]}$ 的运动速度相等，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等，并判断此时线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的位置关系，请分别说明理由；

(3) 如图（2），若“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”改为“ $\text{[math]}$ ”，点 $\text{[math]}$ 的运动速度为 $\text{[math]}$ ，其它条件不变，当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动到何处时有 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等，求出相应的 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且线段BD、CE交于F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有的直角三角形．

综合题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

(1) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等吗？请说明理由；

(2) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有什么关系？请说明理由.

综合题普通