如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．

1. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 菱形的性质; 矩形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

2. 如图，多边形 $\text{[math]}$ 是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点 $\text{[math]}$ 处测得点 $\text{[math]}$ 在正西方向，点 $\text{[math]}$ 在正北方向，点 $\text{[math]}$ 在东北方向，在点 $\text{[math]}$ 处测得点 $\text{[math]}$ 在正西方向，点 $\text{[math]}$ 在正南方向；乙小组测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

(1) 计算点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离；

(2) 某同学从 $\text{[math]}$ 去 $\text{[math]}$ 处回收测量工具，他有两条线路可以前往：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米）

综合题普通

3. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ （如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米；③牵线放风筝的小明的身高为 $\text{[math]}$ 米．

(1) 求风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果小明想风筝沿 $\text{[math]}$ 方向下降 $\text{[math]}$ 米，则他应该往回收线多少米？

综合题普通