如图1，是一副直角三角板（，，），让两块三角板的直角顶点及直角边分别重合放置，斜边AB，CD交于点M．

1. 如图1，是一副直角三角板（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），让两块三角板的直角顶点及直角边分别重合放置，斜边AB，CD交于点M．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ 位置保持不变，将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ ．

①当旋转至图2所示位置时，恰好 $\text{[math]}$ ，求此时α的度数；

②在旋转过程中，是否存在CD与 $\text{[math]}$ 的一边平行？若存在，请求出α的度数；若不存在，请说明理由．

【考点】

平行线的性质; 三角形内角和定理; 三角形的外角性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点．

(1) 如图 1 所示，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

(2) 如果点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 之间时，试探究 $\text{[math]}$ 之间的关系，并说明理由．

(3) 若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 两点的外侧运动时 (点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合)， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的关系是否发生改变？请说明理由．

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2. 已知直线 $\text{[math]}$ ，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 将含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 所示摆放，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 一定平分 $\text{[math]}$ 吗？请做出判断，并说明理由；

(3) 将一副直角三角板按如图 $\text{[math]}$ 所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点与 $\text{[math]}$ 角的顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，直角三角板 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的另一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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3. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，现将一直角三角形 $\text{[math]}$ 放入图中，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$

(1) 当 $\text{[math]}$ 所放位置如图 $\text{[math]}$ 所示时，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 当 $\text{[math]}$ 所放位置如图 $\text{[math]}$ 所示时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在 $\text{[math]}$ 的条件下，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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