如图，菱形的边长为2，，点是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．

1. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点（端点除外），线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$

(2) 求证： $\text{[math]}$ 的最小值

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的大小是否变化?为什么?

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等边三角形的判定与性质; 菱形的性质; 线段垂直平分线的判定; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两个动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．

(2) 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的过程中， $\text{[math]}$ 的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由．

综合题普通

2. 定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.

(1) 判断：如图①，一个内角为60°的菱形_▲_等距四边形.（填“是”或“不是”）并说明为什么？

(2) 如图②，在5×5的网格图（每个小正方形的边长为1）中有A、B两点，请在给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是以点A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长.

综合题普通

3. 如图，菱形花坛 $\text{[math]}$ 的一边长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿着该菱形的对角线修建两条小路 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求菱形花坛 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通