如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴负半轴上，且，连接AC，将沿直线AB翻折，点C的对应点E恰好落在x轴上，过点E作轴交直线AB于点F，连接CF．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴负半轴上，且 $\text{[math]}$ ，连接AC，将 $\text{[math]}$ 沿直线AB翻折，点C的对应点E恰好落在x轴上，过点E作 $\text{[math]}$ 轴交直线AB于点F，连接CF．

(1) 填空：点A的坐标为，点C的坐标为；

(2) 求点E的坐标；

(3) ①判断四边形BCFE的形状并证明；

②将四边形BCFE沿直线AB平移，平移后的四边形记为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 落在y轴上时，直接写出平移的距离．

【考点】

勾股定理; 菱形的判定; 翻折变换（折叠问题）; 一次函数图象与坐标轴交点问题; 坐标系中的两点距离公式;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，某村庄 $\text{[math]}$ 到公路 $\text{[math]}$ 之间有一池塘相隔，村民出行都是走 $\text{[math]}$ 这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从 $\text{[math]}$ 到公路 $\text{[math]}$ 之间架桥新修了一条公路 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ．

(1) 求新修的公路 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 在后期的建设中，村委会在 $\text{[math]}$ 之间修建了一个观光亭 $\text{[math]}$ ，使得观光亭 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离与观光亭 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离相等，求观光亭 $\text{[math]}$ 到村庄 $\text{[math]}$ 的距离．

综合题普通

2. 如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房 $\text{[math]}$ 的顶层去，吊车的吊臂 $\text{[math]}$ 需要伸长到 $\text{[math]}$ 米，吊车到楼房的水平距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，吊车车身 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ 米、求楼房 $\text{[math]}$ 的高度．

综合题普通

3. 如图，已知 $\text{[math]}$ 为火车道， $\text{[math]}$ 为公路，A为火车站（点A在射线 $\text{[math]}$ 上），P为村庄（点P在射线 $\text{[math]}$ 上），且 $\text{[math]}$ ．公路 $\text{[math]}$ 与公路 $\text{[math]}$ 垂直，垂足为D，经测量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 原来P村村民需沿 $\text{[math]}$ 才能到达火车站，现修通公路 $\text{[math]}$ ，求P村村民沿公路 $\text{[math]}$ 到达火车站，比原来少走多少 $\text{[math]}$ 的路；（结果可保留根号）

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通