如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E、F分别是的中点，连接．

1. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 延长 $\text{[math]}$ 至点G，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．如果 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．

【考点】

平行线的判定; 三角形全等及其性质; 等腰三角形的性质; 平行四边形的性质; 矩形的判定; 对顶角及其性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图①，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(3) 若 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 外一点，其余条件不变，请你画出图形并猜想（1）和（2）中的结论是否仍然成立．（直接写出结论即可）．

综合题困难

(1) 如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想．

(2) 如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．

综合题普通

3. 按要求作图

已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

(2) 已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

综合题普通