如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．

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1. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在y轴，x轴上，当 $\text{[math]}$ 在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形 $\text{[math]}$ 的形状保持不变，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，若以 $\text{[math]}$ 为边长在第一象限内作等边三角形 $\text{[math]}$ ，运动过程中，点 $\text{[math]}$ 到原点的最大距离是多少？

【考点】

三角形三边关系; 等边三角形的性质; 勾股定理; 矩形的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

(1) 【问题探究】

构造多边形比较无理数大小：在图25-1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ．

①请结合图25-1，试说明 $\text{[math]}$ ；

②在图25-2中，请尝试构造三角形，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

③在图25-3中，请尝试构造四边形，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 【迁移运用】

如图25-4，线段 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的任意一点，设线段 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点 $\text{[math]}$ 的位置；如果没有，请说明理由．

综合题困难

2. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．

报告	测量风筝的垂直高度 $\text{[math]}$
成员	组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具	皮尺等
示意图
方案	先测量水平距离 $\text{[math]}$ ，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长 $\text{[math]}$ ，最后测量放风等的同学的身高 $\text{[math]}$
数据	$\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米
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