设两个向量满足，

1. 设两个向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，

(1) 求 $\text{[math]}$ 方向的单位向量；

(2) 若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

【考点】

向量的模; 单位向量; 平面向量的坐标运算; 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角; 数量积表示两个向量的夹角;

【答案】

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解答题困难

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的模长．

解答题普通

2. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则欧几里得距离 $\text{[math]}$ ；曼哈顿距离 $\text{[math]}$ ，余弦距离 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的曼哈顿距离 $\text{[math]}$ 和余弦距离 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的两动点，问是否存在直线 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出所有满足条件的直线 $\text{[math]}$ 的方程，若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 设有 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的内积.记 $\text{[math]}$ 为全体由 $\text{[math]}$ 和1构成的 $\text{[math]}$ 维向量的集合.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的 $\text{[math]}$ ；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为偶数；

(3) 若 $\text{[math]}$ 表示能从 $\text{[math]}$ 中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测 $\text{[math]}$ 的值，并给出一个实例.

解答题困难