在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点A在y轴正半轴上．

(1) 如果四个点 $\text{[math]}$ 中恰有三个点在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上．

① $\text{[math]}$ ▲ ；

②如图1，已知菱形 $\text{[math]}$ 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ 轴，求菱形的边长；

③如图2，已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．

(2) 已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ ，最高处点P到地面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示抛物线上任一点到地面 $\text{[math]}$ 的高度， $\text{[math]}$ 表示抛物线上任一点到隧道一边 $\text{[math]}$ 的距离．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在 $\text{[math]}$ 之间，高度应在 $\text{[math]}$ 之间，小明发现隧道为单行道，一货车 $\text{[math]}$ 沿隧道中线行驶，宽 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，货车的最高处与隧道上部的竖直距离 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．

综合题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于该抛物线的对称轴对称，顶点为点 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出二次函数的对称轴及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边只有 $\text{[math]}$ 个公共点时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

3. 已知，如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线解析式；

(2) 已知四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上．

①若 $\text{[math]}$ 轴，求线段 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

综合题困难