如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点．

1. 如图，在直角坐标平面 $\text{[math]}$ 中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A、B、C三点．

(1) 求点A、B的坐标；

(2) 联结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，

①求抛物线表达式：

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ ?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点A，B（点A在点 $\text{[math]}$ 的左侧），交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为抛物线在第一象限图像上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为t， $\text{[math]}$ 长度为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由．

综合题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图像与坐标轴交于 $\text{[math]}$ 三点，

(1) 求 $\text{[math]}$ 两点坐标；

(2) 如图1，若抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和；

(3) 在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 坐标，若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A．

(1) 求点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， y有最大值为3，求a的值；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

综合题困难