已知过点可以作曲线的两条切线，切点分别为、，线段的中点坐标为，其中是自然对数的底数.

1. 已知过点 $\text{[math]}$ 可以作曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点坐标为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上某点切线方程; 导数在最大值、最小值问题中的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

(3) 证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有两条不同的公切线（与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均相切的直线） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 证明： $\text{[math]}$ .

解答题普通