如图，在矩形中，， E是上的一个动点.

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 上的一个动点.

(1) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ， G是对角线 $\text{[math]}$ 的三等分点，且 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点P.当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，点H在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，折叠后点D落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点N，与 $\text{[math]}$ 交于点M，且 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的面积.

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点F在矩形对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，当点F在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点G， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 沿 $\text{[math]}$ 折叠该纸片，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，折叠后的图形与矩形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．

①如图②，当点 $\text{[math]}$ 在第四象限时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；