在中，，，是的角平分线，于点．

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），以 $\text{[math]}$ 为一边，在 $\text{[math]}$ 的下方作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 如图3，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，以 $\text{[math]}$ 为一边，在 $\text{[math]}$ 的下方作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．试探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量之间的关系，并说明理由．

【考点】

三角形全等的判定; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

(1) 问题：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 边上一点（不与点B，C重合），将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；

(2) 探索：如图②，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转，使点D落在 $\text{[math]}$ 边上，试探索线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系，并证明结论；

(3) 应用：如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ ．

(1) 写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(2) 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 在(2)的条件下，作 $\text{[math]}$ 的平分线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 特例发现：如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时，

①求证： $\text{[math]}$ ；

②填空： $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；

(2) 类比探究：如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交时，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .探究 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），并写出探究过程；

(3) 拓展运用：在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难