如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F.已知AC：BF＝3：4.

1. 如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F.已知AC：BF＝3：4.

(1) 求sin∠ABC的值.

(2) 若BE＝6，求⊙O的半径的长.

【考点】

切线的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 切线长定理;

【答案】

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综合题普通

1. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

(1) 如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．

(2) 在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．

(3) 如图2，△ABC中，AC=2，BC= $\text{[math]}$ ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

综合题普通

2. 如图，AB为 $\text{[math]}$ 的直径，D为BA延长线上一点，过点D作 $\text{[math]}$ 的切线，切点为C，过点B作 $\text{[math]}$ 交DC的延长线于点E，连接BC．

(1) 求证：BC平分 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ 的面积为16，求 $\text{[math]}$ 的面积.

综合题普通