某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：PM2.564161010经计算，则可以推断出（）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828

1. 针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的 $\text{[math]}$ 列联表中，由列联表中的数据计算得 $\text{[math]}$ ，参照附表，则下列结论正确的是（）

附表：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.01	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	10.828

A. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” B. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联” C. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” D. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”

多选题容易

2. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：

	患病	未患病
服用药	10	45
没服用药	20	30

由上述数据得出下列结论，其中正确的是（）

附： $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$	0.05	0.025	0.010	0.005
$\text{[math]}$	3.841	5.024	6.635	7.879

A. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C. 该药物的预防有效率超过 $\text{[math]}$ D. 若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005

多选题容易

1. 某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 $\text{[math]}$ ，女生喜欢抖音的人数占女生人数的 $\text{[math]}$ ，若有 $\text{[math]}$ 的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（　　）

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

A. 50 B. 45 C. 40 D. 35

多选题普通

2. 通过随机询问110名不同性别的大学生是否爱好某项运动，得到如下的 $\text{[math]}$ 列联表：

	男	女
爱好	40	20
不爱好	20	30

由 $\text{[math]}$ 算得 $\text{[math]}$ ，

参照附表，以下不正确的有（）

附表：

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

多选题普通

3. 经过对 $\text{[math]}$ 的统计量的研究，得到了若干个临界值，当 $\text{[math]}$ 的观测值 $\text{[math]}$ 时，我们（）

A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有关 B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 无关 C. 有99%的把握说 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有关 D. 有95%的把握说 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有关

多选题普通

1. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下 $\text{[math]}$ 列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（）

	喜欢课外阅读	不喜欢课外阅读	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

参考数据及公式如下： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

A. 不能根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者有关 B. 根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者有关 C. 根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者有关 D. 根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者无关

单选题容易

2. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：经计算得到 $\text{[math]}$ ，根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验（已知 $\text{[math]}$ 独立性检验中 $\text{[math]}$ ），则可以认为（）

A. 两种疗法的效果存在差异 B. 两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C. 两种疗法的效果没有差异 D. 两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005

单选题普通

3. 某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：

	用药	未用药
症状明显减轻	37	33
症状没有减轻	8	22

根据表中数据，计算可得 $\text{[math]}$ （结果精确到0.001），依据小概率值 $\text{[math]}$ （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.

附： $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

填空题容易

1. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶人次	125	105	100	90	80

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

(1) 由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次 $\text{[math]}$ 与月份 $\text{[math]}$ 之间的关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程 $\text{[math]}$ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；

(2) 交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过2年	24	16
驾龄2年以上	26	24

能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?

解答题普通

2. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $\text{[math]}$ ，将该指标大于 $\text{[math]}$ 的人判定为阳性（患病），小于或等于 $\text{[math]}$ 的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.

(1) 随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值 $\text{[math]}$ 进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出 $\text{[math]}$ 列联表，依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为误判与性别有关？

(2) 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：

指标	[95，100]	（100，105]	（105，110]	（110，115]	（115，120]	（120，125]	（125，130]
患病者频率	0.01	0.06	0.17	0.18	0.2	0.2	0.18
指标	[70，75]	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
未患病者频率	0.19	0.2	0.2	0.18	0.17	0.05	0.01

假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在 $\text{[math]}$ 以内（小于等于 $\text{[math]}$ ），求临界值 $\text{[math]}$ 的范围；

(3) 在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 对应的误诊率和漏诊率.

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.100	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	10.828

解答题困难

3. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．

(1) 完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；

	有报考意向	无报考意向	合计
男学生
女学生
合计

(2) 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ．

α	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

解答题普通

1. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $\text{[math]}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $\text{[math]}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $\text{[math]}$ 约为（）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

单选题普通

2. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（Ⅰ）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

P（K²≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

K²= $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）

表1

成绩性别	不及格	及格	总计
男	6	14	20
女	10	22	32
总计	16	36	52

表2

视力性别	好	差	总计
男	4	16	20
女	12	20	32
总计	16	36	52

表3

智商性别	偏高	正常	总计
男	8	12	20
女	8	24	32
总计	16	36	52

表4

阅读量性别	丰富	不丰富	总计
男	14	6	20
女	2	30	32
总计	16	36	52

A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量

单选题普通

$\text{[math]}$ PM2.5	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	64	16
$\text{[math]}$	10	10